这张照片最近触动了无数人。2026年国际数学家大会上，王虹成为历史上第三位获得菲尔兹奖的女性，也是第一位中国籍女性获奖者。她在台上侃侃而谈，介绍自己的工作，台下座无虚席，掌声雷动。而在会场之外，有人拍下了这样的一幕：王虹的导师拉里·古斯背着旧书包，站在会议厅的玻璃窗外，撑着墙，微笑着凝望他的学生。
那面玻璃犹如一道分界线。里面是掌声、鲜花和聚光灯。外面是没有座位，却满脸骄傲的导师。他的表情仿佛在说：我的学生，厉害吧。
那个站在台上的女孩，曾经差点被数学拒之门外。1990年代，在桂林，一个小女孩放学后喜欢读希腊神话、哈利·波特和《指环王》，打乒乓球、羽毛球，和父母在漓江边散步。父母都是教师，从不逼她学习。数学只是她的诸多爱好之一。拿到新课本，她会在开学前把所有习题做完；再去书店买更多数学书，接着做完。她记得一个有趣的题目：总共7棵树，怎么种才能让“一行三棵”的行数变得最多？六岁时，她画了一个等边三角形，三个顶点各种一棵，每条边中点各种一棵，中心再种一棵。六行。她做得比当数学老师的父亲还快。
王虹后来回忆称，她之所以喜欢数学，是因为数学的“永恒”。历史会被改写，英语有无数例外，只有定理是可靠的。然而这条路并不顺。2007年，她被录取为北大地球与空间科学专业的学生，后来转进了数学系。在北大数学系，她的成绩并不是最拔尖的，她怀疑自己能否读研。机会来了，法国巴黎综合理工学院在北京举行招生考试。2011年，她去了法国。所有课程用法语授课，而她不会法语。幸运的是，第一学期的数学她大多已经学过。她和懂法语的同学一起吃饭，安静地听，礼貌地请人解释，慢慢就能听懂更多。不过她还是怀疑自己的科研才能，一度转向建筑，又转回数学。
2013年，她到麻省理工学院做研究实习。在此期间，数学家拉里·古斯讲了埃尔德什距离问题，他讲得太清楚了，王虹觉得自己深入理解了部分证明。第二年，她进入MIT读博士，选了古斯做导师。王虹后来在采访中说，导师是古斯这件事，就是她坚持下去的理由之一。
古斯是怎么教她的？王虹脑子里的想法是“乱”的——这是她自己说的。她从小做题就快，但思维方式像散落一地的珠子，缺一根线串起来。古斯只是坐在黑板下面听她说，鼓励她把乱七八糟的想法一股脑倒出来，通过提问引导她提炼出线索；当她挂在黑板上卡壳的时候，他也不催不赶，等她想明白捋清楚；面对失败，他帮她重建韧性。古斯自己也曾在挂谷猜想上失败过至少四次，但他从没因此劝王虹换题目。
后来王虹去攻克三维挂谷猜想，她差不多试了四年。这种耐性得益于古斯当年不催不赶的培养。古斯从不否定她的尝试，哪怕自己当年在这里跌倒过，也不因此拦着她走。2025年2月，王虹和Joshua Zahl提交了127页的证明。古斯的名字不在作者栏里，但在致谢里。论文的致谢写着：感谢我的博士导师Larry Guth，“感谢他多年的指导、支持和鼓励”。
2026年7月，王虹站上了菲尔兹奖的领奖台。古斯站在窗外，背着旧书包，没有座位。他笑了。
王虹后来成名了，走在街上会被人认出来，演讲邀请和采访请求排到年底。她说她最怀念的不是得奖，是小时候在桂林，觉得自己有无限的时间可以读书。她看着自己的导师古斯，这个顶尖数学家，至今仍然会留出时间阅读闲书。她说：“我总希望自己也能回到那种感觉里。”
要讲古斯其人，得从他父亲讲起。艾伦·古斯出生于1947年，1979年他在康奈尔听了一场关于宇宙学平坦性问题的报告，从此转向宇宙学。同年12月，他在斯坦福提出了“宇宙暴胀”思想。今天他是MIT维克多·F·魏斯科普夫物理学讲座教授，美国国家科学院院士。儿子拉里·古斯，1977年出生，也获得了不少颇有影响力的数学奖项。2012年，古斯加入MIT数学系，2019年起担任Claude E. Shannon数学教授，2021年当选美国国家科学院院士。2022年，他与合作者在黎曼猜想相关问题上取得了重大突破。父子俩都是美国国家科学院院士，都在MIT任教。
真正动人的故事不是这两份简历。拉里·古斯最珍贵的童年记忆，是和父亲坐在一起，谈论数学和物理。少年拉里思维太快，手跟不上脑子。父子讨论某个问题时，拉里冒出一个想法，主意本身不错，但他在纸的这一角写一点，那一角又涂几笔，整张纸像作战地图。大多数父亲或导师会说：“什么乱七八糟的，重写一遍。”但艾伦·古斯没有。这个提出宇宙暴胀理论的物理学家安安静静地坐在儿子旁边，拿起另一张纸，一行一行、非常系统地把拉里的想法整理下来。那些散落各处的凌乱念头，被父亲一条条捋顺，终于能看清他在说什么。
拉里后来回忆，他花了大约十年，才学会父亲那种一次只写下一个想法的系统性思维。如今拉里在MIT教书，他鼓励学生采用同样的方法，“我们父子都很喜欢教学，父亲当年处理问题的方式，正是我如今喜欢向学生讲解的方式。”今天父子俩都在MIT，仍然定期约午饭，讨论数学和物理。尽管彼此的研究领域已经高度专业化，拉里却说：“与其解释各自的研究，讨论更经典的问题往往更有趣，那些问题更酷，对我们俩来说也更容易理解。”
数学之外，拉里一直喜欢戏剧，经常邀请朋友来家里朗读剧本。他说这不仅是研究的调剂，更因为戏剧和数学之间有着奇妙的呼应。“数学给人的印象是极其复杂的，这有一定的道理。但另一方面，我们感兴趣的是人们习以为常的简单事物：数字、圆形、直线。数学的一个要素就是不要把这些东西视为理所当然。”同样，在表演中，你也不能对角色想当然，“你必须思考你的角色正在经历什么，并且要更认真地对待它，而不只是乍一眼看去。”
拉里从父亲那里继承的，不仅是系统性思维，更是一种对待“失败”的态度。父子俩的讨论从来不是单方面给出答案。他们常常一起面对未知：先猜测，再尝试证明；如果失败，就尝试推翻；如果仍然无法证伪，就重新开始。拉里说：“很多学生证明失败后会感到沮丧，但更好的状态应该是：很有意思，这个方法没有奏效。我想知道为什么它没有奏效。”失败不是终点，而是理解问题的入口。
他就是这样教王虹的。王虹曾因高考失利进不了北大数学系，学了地球科学；转系之后又觉得自己不够好；去法国读研，一度因为“不知道目标是什么”转去学建筑。她在采访里说，自己做的每一件事，都觉得只是“运气好”。而古斯帮她树立了信心，让她获得一种安全感。古斯身上有一种极少见的品质：松弛。他不制造焦虑，不传递恐慌。他只做一件事，把你散落一地的想法，一个一个捡起来，摆好，让你看清楚。他放手让学生尝试，即使走不通也无妨。
王虹从MIT毕业后去了普林斯顿高等研究院做博士后。离开古斯以后，她不但没有“不行”，反而像一棵移栽后活得更旺的树，陆续做出了好几个重量级成果。古斯不会让你永远依赖他，他只会让你慢慢学会自己走路。然后她回来，攻克了三维挂谷猜想。古斯自己说过，他在这个猜想上失败过四五次。他比任何人都清楚这条路有多难走。但他没拦她。王虹和Zahl用了四年。2024年初，证明的归纳逻辑终于走通了，但王虹不让自己得出结论。“这是一个难题，我是谁，怎么能解决它？”她说。“你会产生怀疑。但从感觉上讲，论证是自然的。”她在脑海里能“看见”那个逻辑：一个尺度的管子变成更大尺度的厚板，再变成填满整个空间的平板。形状如何演化成彼此，告诉她挂谷集必然是三维的。但她又花了一年时间才公开发表。因为她怕的是“表达得不够清晰”。不是怕错，是怕别人看不懂。王虹这种近乎偏执的严谨，某种程度上正是古斯教她的：父亲当年替拉里整理的，不就是“表达”吗？
说到这里，你可能会想：现在AI这么厉害，老师的角色是不是没那么重要了？坦率地说，AI确实比很多老师更好。它永远有耐心。你问一百遍“为什么”，它不会烦。你深夜两点突然想通一个问题，想问点什么，它在线。它不会因为今天心情不好就敷衍你，不会因为你的问题太基础就翻白眼，不会因为你的进度太慢就暗示你“不适合学这个”。AI的知识储备远超于人。一个高中数学老师可能只精通高考范围内的东西，但AI可以瞬间调取整个数学谱系，从欧几里得到佩雷尔曼，从数论到拓扑，跨领域连接，随时为你展开。它不会说“这个我教不了”，它只会说“这个问题涉及的东西有点多，我帮你梳理一下”。AI讲得也未必差。它能根据你的理解水平调整表述方式，用你听得懂的语言重新解释同一个概念。你学得快，它提速；你卡住了，它换一种讲法。它甚至可以帮你生成定制化的练习题，精准打击你的薄弱环节，这比大班教学里“所有人做同一张卷子”的效率高太多了。
如果你只是想“学会”某个东西，通过考试、掌握技能、解决具体问题，AI是那个永远不会累、永远不会不耐烦、永远不会敷衍你的老师。它比你遇到的绝大多数人类老师都更称职。那问题来了：既然AI已经是更好的老师，为什么陶哲轩最近还要说，“在教育领域必须严格限制AI”？为什么还需要古斯坐在王虹对面？
2026年7月，陶哲轩在国际数学家大会上做了一个演讲。题目叫《人工智能时代的数学》。他先讲了一个让人紧张的事实。一个叫First Proof的独立评测，出了十道全新的研究级难题，AI以“可发表质量”解出了七道。单题成本10到1000美元。然后他说：我假设AI已经能批量解题了。接下来怎么办？他提出了一个概念：证明消化。数学工作的完整流程不是“出答案”就结束了。它分四步。第一步，解题。第二步，验证正确。第三步，清晰阐述。第四步，被数学界消化、理解、接受，最终沉淀为教科书里的经典理论，教给下一代。陶哲轩说：前两步AI都能做。第三步勉强能做，但做得很糟。第四步，AI永远做不到。为什么？因为AI生成的证明太“顺滑”了。语法完美、格式工整、没有一处错误。但正是这种完美，毁掉了“理解”的可能性。
陶哲轩的原话是：人类写的证明里，作者觉得困难的部分，通常会留下“自然的摩擦力”，那种磕磕绊绊的痕迹，会“促使读者放慢速度，更加专注”。而AI的过度润色，会把所有摩擦抹掉，“不会真正鼓励读者去学习和理解论证的关键思想”。他甚至说了一句话：人类阐述之中的错误，最终可能对读者有帮助。为什么？因为你看一个人推导时卡住、回头、重来、终于走通，你学到的不是“正确答案”，而是“如何思考”。那些磕绊是理解的路标。AI给的完美答案，像一条高速公路，你嗖一下就过去了，但你什么风景也没看见。
然后陶哲轩把这个问题指向了教育。他在第49页和第50页写了两段话，语气很重：“在许多领域（特别是教育和培训中），强调工作中的人性化方面，并严格限制AI工具的使用，将是至关重要的。”他不是反对AI。他是说：教育的目的，不是让学生“获得答案”，而是让他们“学会如何理解”。而理解这件事，需要犯错、需要困惑、需要有人在旁边，看着你跌跌撞撞，不替你走，但陪着你。
还有一个更深的问题。AI可以教你数学。但如果你从小到大所有的“理解”都是AI帮你梳理的，你自己大脑里永远建立不起那个框架。你只是在消费AI的成品，没有参与生产。你依赖AI解释概念，但你自己不会解释。你依赖AI整理思路，但你自己拿到一张白纸，写不出一行清晰的语言。你依赖AI指出错误，但你自己看不出哪里错了。陶哲轩在演讲中定了一条规矩：如果作者不能做出令人信服的证明，不能就自己的成果做出一场清晰、专业的专家级演讲，且内容正确、归因恰当，那么该成果就不应该被发表。这条规矩的潜台词是：数学的最终裁判，是一个人，站在讲台上，用自己的话，把一件事说清楚。AI可以给你答案。但AI不能替你站在讲台上。
2026年6月2日，国际数学联盟背书的《莱顿宣言》发布。核心精神只有一句话：数学过去是、将来也应该永远是一项深刻的人类事业。
回到古斯和王虹。2013年的那个下午，如果是一个AI在台上讲课，王虹听到的是完美的语音、流畅的逻辑、无懈可击的表述。她可能快速理解了证明。然后呢？然后她记了一个笔记，关掉屏幕，结束了。但讲台上站着的是古斯。一个活生生的人。他在讲自己做过的东西，那些失败过的尝试，那些拐错的方向，那些“我在这里卡了三个月”的停顿。王虹听出来的不是“一个完美答案”，而是“一个人走过的路”。她因此觉得：我能理解。也许我也可以。第二年，她选了古斯做导师。古斯教她的方式，就是当年艾伦教他的方式：坐在她对面，听她把脑子里乱七八糟的想法全都倒出来，然后一行一行帮她梳理。
AI不会对你说：“我从来没解决这个问题，但我觉得你可以试试。”AI不会告诉你：“我在这个方向上失败过四五次。”AI不会看着你花了四年时间走一条可能走不通的路，然后说：“你去撞那堵墙，撞完告诉我你看到了什么。”AI也不会在你获奖那天，背着旧书包，站在会议厅的玻璃窗外，没有座位，笑着看你。AI可以生成证明，但AI不会为你的成功感到骄傲。
有人说：“我导师从来不跟我讨论问题，组会就是汇报进度、挨骂、接着做牛马。”有些人遇到的“导师”，是把学生当耗材的。论文发出来，署名排第一的人，连你的名字都没记全。你熬夜跑的数据、想破脑袋的创意，填了别人的晋升材料。他教了你“职场生存法则”，而你交的学费，是整个青春。好的教育不是这样。
好的教育，是有人愿意花十年时间，帮你把乱糟糟的草稿纸理成清晰的语言。好的教育，是“我知道这个方向可能走不通，但我不拦你，你去试试。”好的教育，是不替学生走，陪她走，然后坦然看着她超过你。好的教育，是学生站在台上发光时，老师站在窗外，背着旧书包，没有座位，却笑得比谁都开心。你一辈子能碰到几个这样的人？王虹碰到了。
王虹得奖那个下午，古斯没挤进荣耀的座位区。他站在外面，隔着玻璃。那一幕让那么多人破防，因为“窗外”是一个好老师最常待的位置。他不在镜头里。但没有他，你走不到那儿。陶哲轩说：数学的价值不在于得到答案，而在于人类理解、消化和传承答案的过程。AI给你答案。只有人，给你“理解”。只有人，把“理解”变成“传承”。只有人，在你成功的那个下午，站在你也许永远不会知道的位置，替你高兴了一辈子。
王虹在采访里说，看着古斯至今还会找时间读闲书，她总希望自己也能回到那种“有无限时间阅读”的感觉里。她说：“我觉得那段时光真的很好。”一位顶级数学家最怀念的，不是发论文，不是拿奖，是有人让她觉得，时间是可以浪费在喜欢的事情上的。如果你也遇到了这样的人，请记得回头看一眼窗外。有人站在那里，替你高兴了一辈子。
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